Единый подход к мерам неопределенности в статистических задачах принятия решений

При разработке современных радиолокационных систем внимание уделяется не только обнаружению, измерению координат воздушных целей, но и распознаванию летательных аппаратов заданного алфавита классов.

Если проблема распознавания классов «традиционных» воздушных объектов – самолетов, вертолетов, баллистических и крылатых ракет в основном решена, то в распознавании беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) остаются вопросы.

Применение БПЛА в обычных, «мирных» сферах деятельности человека трудно переоценить. Беспилотные аппараты широко используются для наблюдения за состоянием сельскохозяйственных угодий, за дорожной обстановкой, для прогнозирования чрезвычайных ситуаций и постоянного мониторинга потенциально опасных районов и т. д. Ситуации, когда БПЛА «свой» и под контролем, интереса для задач распознавания не представляют и рассматриваться не будут.

В настоящее время – решения задач СВО, борьба с БПЛА – важнейшая задача для выживания личного состава и техники непосредственно на линии боевого соприкосновения, ближнем тылу, позиционных районах войск. Эту задачу решают элементы системы ПВО отделения, взвода, роты и далее по иерархической лестнице. В настоящей статье вопросы особенности распознавания БПЛА в интересах системы войсковой ПВО также не рассматриваются.

Анализ боевого применения БПЛА, особенно в последнее время, показывает, что особую значимость приобретает проблема обеспечения безопасности критически важных инфраструктурных объектов (аэропорты, НПЗ, газовые хранилища и т.п). Перечисленные объекты непосредственно не относятся к элементам боевого или технического обеспечения войск, но их «противодроновая» защита требует непрерывной оценки воздушной обстановки.

Таким образом, возрастает актуальность обнаружения, особенно, малоразмерных воздушных целей, распознавания их типа и степени опасности.

Цель статьи, по замыслу авторов, – исследование возможности использования единого подхода в оценке информативности параметров сигналов

в задачах распознавания классов БПЛА.

Для решения поставленной задачи рассмотрим некоторые понятия.

1. Функция неопределенности для оценки информативности сигналов

Обозначим A класс функций f(x), заданных на интервале x ∈ (0;1), которые удовлетворяют следующим условиям:

– функция f(x) – непрерывная, ограничена в интервале x ∈ (0;1) и имеет производную во всех внутренних точках этого интервала;

– функция f(x) неотрицательная при всех x ∈ (0;1).

Будем называть функцию f(x), принадлежащую множеству A - функцией неопределенности для оценки информативности сигналов.

2. Обобщенная мера неопределенности для оценки информативности сигналов

Предположим, что существует монотонная, на интервале x ∈ (0;1) функция:

, E(y) = (0; ∞).                              (1)

Тогда, обобщенной мерой неопределенности H(x), x ∈ (0;1) будем называть монотонно убывающую на интервале x ∈ (0;1) функцию, определяемую из равенства

H(x) = φ(y), y ∈ (0; ∞),                                  (2)

где y=f(x)x, x ∈ (0;1).

Функции H(x), в зависимости от выбора φ(y) и f(x), формируют различные меры неопределенности.

Физический смысл функций мер неопределенности определим следующим

образом – убывание    функции    на    интервале    x ∈ (0;1) означает уменьшение неопределенности  от  H_max(x),  в  окрестностях  x = 0,  до  H_min(x),  в  окрестностях x = 1.

Предлагаемый класс функций A содержит в себе большое число конкретных примеров функций f(x), являющихся функциями неопределенности. В теории различения сигналов целесообразно выделить различные типы функций f(x), которые бы обеспечивали построение необходимых мер неопределенности [1 с.30].

В качестве основных типов функций неопределенности чаще всего используют квадратичную и экспоненциальную функции, подбирая коэффициенты в стандартной форме записи. Правильно подобранные коэффициенты обеспечивают принадлежность рассматриваемых функций к классу функций неопределенности.

Квадратичная функция

f(x) = ax² + bx + c,                                    (3)

где a, b. c – постоянные коэффициенты, x ∈ (0;1), будет принадлежать классу A, если ее коэффициенты а=-1, в=1, с=0.

Тогда f(x) = -x²+x, а мера неопределенности, соответственно, будет определяться выражением H(x) = 1 - x, x ∈ (0;1).

Экспоненциальная функция вида

 (4)

будет функцией неопределенности, если коэффициент α ≤ 0.

Тогда f(x) ϵ A и обобщенная мера неопределенности будет равна

 x ∈ (0;1).                (5)

Докажем это утверждение.

Пусть    m∈  N, следовательно

Доказательство закончено.

3. Примеры построения модифицированных мер неопределенности

На основании рассмотренных в п.2 квадратичной и экспоненциальной функций неопределенности рассмотрим построение модифицированных мер неопределённости Котельникова, Шеннона, Кульбака, Байеса.

Пусть:

φ(y)=ln y                                                             (6)

Тогда квадратичная функция неопределенности (3)

f(x) = ax² + bx + c, x ∈ (0;1)

формирует, при определенных условиях, налагаемых на коэффициенты а ,в ,с меры неопределенности Котельникова, Шеннона, Кульбака.

– положим в (3) а=0, с=0, в=e1-γ, 0 ≤ γ ≤ 1, тогда (1) принимает вид

f(x)=х, x ∈ (0;1).                                   (7)

Отметим, что в выражении (6) независимая переменная γ - непрерывная случайная величина, численно равная априорной вероятности появления сигнала класса Аk  и равносильна по смыслу независимой переменной х:

γ = max {,…, }, γ ∈ (0;1),                        (8)

где p – вероятность появления сигнала класса Аk, k = {1,…,N}.

Тогда f(x) ∈ A и обобщенная мера неопределенности будет равна

 γ ∈ (0;1).             (9)

Меру неопределенности (8) будем называть модифицированной мерой неопределенности Котельникова.

– положим в (3) а=0, в=0, с = 1.

При таких условиях f(x) = 1, x ∈ (0;1) принадлежит классу функций A и является функцией неопределенности. Следовательно, в соответствии с выражениями (2) и (6):

H(x) = φ(y) = ln (1/х)                                  (10)

Меру неопределенности (10) будем называть модифицированной мерой неопределенности Шеннона.

– положим в (3) а=0, в=-1, с = 1.

Тогда, функцию неопределенности f(x) = ax² + bx + c, x ∈ (0;1) можем записать в виде:

(11)

Меру неопределенности, которую порождает функция (11) можем записать в виде

Для того, чтобы мера неопределенности (12) удовлетворяла условиям (2) на интервале x∈ (0;1) необходимо и достаточно, чтобы функция H(x) была непрерывная   на   интервале   (0; 1)   и  имела  производную  f'(x) ≤ 0  для  всех  x ∈ (0; 1). После несложных преобразований получим выражение:

, ≤ 0, при всех x  ∈ 0;1        (13)

Легко заметить, что при  неравенство (13) всегда выполняется и, следовательно выражение (12) будем называть модифицированной мерой неопределенности Кульбака.

Рассмотрим экспоненциальную функцию неопределенности (4):

, x ∈ (0;1)

при выполнении условий α=1, β=-1 принимает вид:

, x ∈ (0;1).

В этом случае, мера неопределенности H(x)примет вид:

H(x) = φ(y) =1-х, x ∈ (0;1)      (14)

Выражение (14) будем называть модифицированной мерой неопределенности Байеса.

Полученные модифицированные меры неопределённости Котельникова, Шеннона, Кульбака, Байеса будем рассматривать как математический аппарат для оценки информативности того или иного признака распознавания [2 с.321].

Для наглядности, полученные результаты сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Модифицированные меры неопределенности

4 Анализ графиков функций и мер неопределенности

На рисунке 1 представлены графики функций и мер неопределенности f_k(x)и H_k(x)

а) графики функций f_k(x)          

 б) графики функций H_k(x)

Рисунок 1. Графики функций и мер неопределенности f_k(x)и H_k(x)

Анализ графиков позволяет сделать вывод о том, существует возможность упорядочить значения мер неопределенности H_k(x). Графики функций неопределенности f_k(x) и мер неопределенности H_k(x) обладают одинаковыми тенденциями изменения своей очередности и, следовательно, по одинаковой схеме происходит смещение функций и мер неопределенности.

Очевидно, что процесс получения информации должен вести к уменьшению или полному снятию неопределенности о том или ином классе сигналов. Поэтому целесообразно определить количество информации как разность между априорной неопределенностью и неопределённостью, которую удастся снять при обработке априорной информации [3 с.76].

Задачу выбора той или иной меры количества информации можно свести к задаче выбора меры неопределенности H_k(x), которая в свою очередь определяется выбором функции неопределенности f_k(x).

Следовательно, используя представления о функциях неопределенности и порождаемых ими мерах неопределенности можем построить меры количества информации для принятия решения в пользу того или иного класса сигналов.

1. Косенко Г.Г. «Критерии информативности при различении сигналов». М.: «Радио и связь», 1982.
2. Вальд А. «Последовательный анализ»: Пер. с англ./Под ред. Б.А. Севастьянова – М.: Физматгиз, 1960.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. «Теория вероятностей и ее инженерные приложения».– М.: «Наука», 1988.