ГОЛОВОЛОМКА КАК КЛЮЧ К ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ

Я всегда увлекался разными головоломками, было очень интересно искать разные пути решения. Создание геометрической головоломки, полезной и интересной для людей любого возраста стало целью моего исследования.

Чтобы сделать головоломку мне понадобился лист бумаги. Я сначала сделал квадрат, затем сложил его по диагонали. Потом сложил полученный треугольник пополам. Затем полученные равнобедренные треугольники, я сложил пополам ещё три раза и получил 32 равнобедренных прямоугольных треугольника, которые равны между собой.

Так как при сгибании развёрнутый и прямой углы делились пополам, то соответственно у каждого из последующих треугольников углы получались 90, 45 и 45 градусов. Итак, получилась единичная деталь с определёнными параметрами. Углы полученного треугольника 45, 45, 90 градусов, следовательно это равнобедренный прямоугольный треугольник. Я придумал как лучше расположить эти треугольники, чтобы получить из них как можно больше геометрических фигур. Чтобы их обозначить, я треугольники решил сделать красными, синими, зелёными, жёлтыми, оранжевыми, серыми и белыми. На 3D принтере сделал равнобедренные прямоугольные треугольники одного размера в семи цветах. (рис.1)

                               Рисунок 1. Головоломка «Кватроф»

Свою головоломку я назвал «Кватроф» (рис. 1). С помощью 32 равных треугольников можно наглядно показать аксиомы и доказать теоремы в геометрии. Эти треугольники помогут наглядно показать и объяснить свойства основных геометрических фигур.

Сделанная мной головоломка поможет в изучении аксиом и теорем, и соответственно в решении геометрических задач, что в дальнейшем будет полезно на экзаменах и в жизни. Моё изделие наглядно, в игровой форме научит школьников понимать и знать геометрию, что неизбежно повысит успеваемость. Аксиомы планиметрии являются основными постулатами, на которых строится геометрия плоскости. Рассмотрим некоторые из них.
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей. [1, с. 9]

Например: на прямой а укажем точки А и В. На прямой b отметим точки С и D. Наглядно видим, что точки С и D не принадлежат прямой а, а точки А и В не принадлежат прямой b, так как точки А и В лежат на прямой а, а точки С и D на прямой b. (рис. 2)

Через любые две точки можно провести прямую и только одну. [1, с. 10]

Например: на рисунке 2 через точки А и В проведена прямая а
Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. [1, с. 11]

Например: на рисунке 2 на прямой c отложены 3 точки E F K. На рисунке мы видим, что точка F лежит между точками E и K.

                 Рисунок 2. Геометрические фигуры на головоломке

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. [1, с. 13]

 Например: на рисунке 2 возьмём отрезок EK и мы видим, что точка F разбивает его на части (EF и FK), и длины этих частей будут составлять длину отрезка EK.  EK = EF + FK         

 Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. [1, с. 18]

Например: на рисунке 2 возьмём прямую а и точку D принадлежащую прямой b, которая параллельна прямой а.

Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. [1, с. 23]

Например: на рисунке 2 построим прямую d, отметим на ней точки Н и L. Получились углы HKB, BKF и FKL. 3 этих угла в сумме дают развёрнутый угол 180°

Так как моя головоломка состоит из треугольников с углами в 45°, 45° и 90°, следовательно углы HKB, BKF и FKL > 0      45+45+ 90=180°

Сумма смежных углов равна 180°[2, с. 13]

Например: на рисунке 2 на прямой d лежат точки Н, К и L. Углы HKB, BКL смежные. Их общая сторона ВК, а стороны НК и КL образуют прямую линию.

1. Так как стороны НК и КL образуют прямую линию, вместе они формируют развёрнутый угол, который равен 180°.
2. Углы ∠HKB и ∠BКL вместе составляют этот развёрнутый угол.
3. Следовательно, ∠HKB + ∠BКL = 180°.

Вертикальные углы всегда равны друг другу [2, с. 14]

Рассмотрим две пересекающиеся прямые d и а. На прямой а отметим точку М.  Прямые образуют четыре угла. Возьмём одну пару вертикальных углов — например, ∠HKB и ∠МКL

1. Угол ∠ HKМ — смежный с ∠ HKB. По теореме о сумме смежных углов их сумма равна 180°. Значит, ∠ HKМ + ∠ HKB  = 180°.
2. Тот же угол ∠ HKМ — смежный с ∠ МКL. Следовательно, ∠ HKМ + ∠ МКL  = 180°.
3. Следовательно и  ∠HKB  = ∠МКL

Можно немного трансформировать головоломку и изменить положение двух деталей, чтобы доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой (рис. 3).

Рисунок 3. Разные варианты расположения элементов в головоломке 

На рисунке 3 отметим 4 точки АВСD. Треугольник АВС равнобедренный. ВD – высота. Рассмотрим треугольники ABD и BCD:

С помощью головоломки на рисунке 3 мы сразу видим, что треугольники ABD и BCD состоят из двух равных треугольников, следовательно ABD = BCD, а значит  ∠AВD = ∠CВD и, следовательно, ВD –биссектриса

AD = CD (так как это гипотенузы треугольников головоломки) и, следовательно, ВD – медиана.

На рисунке 3 мы можем взять любой треугольник и посчитать углы 45 + 45 + 90 =180°

На рисунке 3 отметим точку Н. Получили треугольник АНD. ∠ НDС- внешний.

Значит ∠AНD + ∠DАН = ∠НDС, так как внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним [2, с. 26].

Проверим по головоломке, используем рисунок 3. ∠AНD = 90°,   ∠DАН = 45° Значит ∠AНD + ∠DАН = 90° + 45° = 135° ∠НDС = 45° + 45° + 45° = 135°

В выпуклом четырёхугольнике сумма углов равна 360° [2, с.126]

Покажем данное свойство на рисунке 3. Отметим точку Е и получим четырёхугольник АВСЕ. ∠A образует два угла по 45° (∠A = 90°). Следовательно, и ∠В, и ∠С = 90°. ∠Е = 90°     90°+90°+90°+90°=360°

Так как у четырёхугольника все углы 90° и все стороны равны следовательно АВСЕ – квадрат. [3, с. 127]

На рисунке 3 отметим точку К. Четырёхугольник АDКЕ – параллелограмм. Мы видим, что он состоит из четырёх равных треугольников. Две напротив лежащие стороны — это гипотенузы этих треугольников, и они равны (АD=КЕ). Другие две напротив лежащие стороны — это по два катета этих треугольников, и они равны (АЕ=DК).

Два соседних угла параллелограмма ∠A = 45°, ∠Е = 45°+ 90° = 135° в сумме дадут 180°, а противоположные углы ∠A = ∠К= 45°

В любом возрасте очень затягивает поиск разных вариантов решения задач. Моя головоломка даёт ответы на многие вопросы, помогает в решении задач и в повторении изученных тем по геометрии, поможет подобрать рисунок для дизайна, займёт детей младшего возраста и раскроет их творческие способности и разовьёт художественный вкус. (рис. 4)

                            Рисунок 4. Композиция из деталей головоломки

Поиск нестандартных решений, поможет определиться и найти свой путь в жизни. Мой младший брат так заинтересовался новой головоломкой, что просидел за составлением разных фигур весь вечер. (рис. 6)

Данное изделие увлекает и развивает интерес к изучению геометрии. Когда дети младшего возраста из треугольников одинакового размера, но разных цветов собирают композиции, они учится объединять простые фигуры в более сложные, что развивает мелкую моторику и речь и способствует тренировке внимания и памяти.

Рисунок 5. Композиция из деталей головоломки, составленная младшим братом

         Моя головоломка понравилась моим друзьям и членам семьи, следовательно я достиг цели исследования и справился с поставленными задачами.

1. Миронова Г. В. Справочник по математике. 5 – 9 классы. – М.: ВАКО, 2025. – 80 с.
2. Киселёв А. П. Геометрия. Часть 1. Планиметрия. Для 6 – 9 классов.-М.: Советские учебники, 2025.-192с.
3. Удалова Н. Н. Математика. –М.: Эксмо, 2024. – 192с