Применение мер неопределенности для разбиения выборочного пространства на множества информативности в статистических задачах принятия решений

Согласно ч. 5 ст. 66 Федерального закона № 273-ФЗ среднее общее образование в Российской Федерации является обязательным. Среднее общее образование получают в СОШ (включая гимназии и лицеи) или учреждениях СПО. [1]

Девятиклассники, родители которых приняли решение о прекращении их детьми получения образования в школах, поступают в колледжи (техникумы).

Подавляющее большинство студентов-первокурсников колледжей имеют слабое представление о том, чем они будут заниматься по окончанию образовательного учреждения. Их убедили в правильности выбора друзья, знакомые, родители, которые зачастую, также не вполне представляют перспективы молодого специалиста – выпускника учреждения СПО.

Возникает проблема – ошибка выбора будущей специальности. Если обучающийся, условно называемый «гуманитарий», ошибся в выборе одной из специальностей гуманитарного направления подготовки, то задача решается достаточно просто – переводом для обучения на «любимую» специальность. Если «гуманитарий» попал, по недоразумению, на естественно-научный или социально-экономический профиль – хуже, но «терпимо». Самый плохой вариант – «гуманитарий» попадает на направление технологического профиля. Такая же «плохая» ситуация и в обратном случае, когда потенциального «технаря» отправляют учится на специальность, например, «Клиническая медицина».

В этом случае учеба превращается в «мучение», а работа по специальности, чаще всего, не приносит ни карьерного роста, ни морального удовлетворения, ни материального благополучия.

Анализируя вышесказанное, целесообразно предложить процедуру, применение которой позволит определять, с заданной вероятностью, склонность выпускников девятых классов к тому или иному направлению подготовки и в дальнейшем рекомендовать образовательное учреждение СПО для поступления.

Ясно, что для получения необходимого результата необходимо уменьшать или полностью снимать неопределенность о «склонности» выпускника девятого класса (потенциального студента – первокурсника) к тому или иному направлению подготовки. Основные виды функций и порождаемые ими меры неопределенности предложены в работе [2, 3] и показаны в таблице 1.

Таблица 1

Модифицированные меры неопределенности

Причем, класс функций f(x), называют функциями неопределенности.

В свою очередь, класс функций f(x), заданных на интервале x ∈ (0;1), должны удовлетворяют следующим условиям:

– функция f(x) – непрерывная, ограничена в интервале x ∈ (0;1) и имеет производную во всех внутренних точках этого интервала;

– функция f(x) неотрицательная при всех x ∈ (0;1).

Класс функций H(x), x ∈ (0;1) называют функциями мер неопределенности, причем функция H(x), монотонно убывает на интервале x ∈ (0;1) и определяется из равенства

H(x) = φ(y), y ∈ (0; ∞).                                                    (1)

где 

Функции H(x), в зависимости от выбора φ(y) и f(x), формируют различные меры неопределенности.

1. Меры количества информации

Условимся, что все выпускники девятых классов разделены на некоторые множества: «математики», «физики», «химики», «историки» и т.п. Учеников, входящих в конкретное множество, будем рассматривать как единое целое. Конкретного ученика будем называть элементом множества. Необходимо предложить процедуру извлечения информации, с помощью которой, случайным образом представленный ученик, может быть отнесен к одному из множеств.

Формализуем вышесказанное.

Предположим, что имеется последовательность множеств, которые состоят из выпускников девятых классов, А={Ак}, к=1,…,N.

Последовательность будем характеризовать некоторым невырожденным распределением PN={pк, к=1,…,N}, , где pк - априорная вероятность появления элемента из  к-го множества. Предположим, что последовательность pk, к=1,…,N задана, т.е. имеются вполне определенные соображения относительно априорной вероятности появления элемента из к-го множества заданной последовательности множеств.

Будем полагать, что информация о каждом множестве содержится в n параметрах . Кроме того, будем полагать, что каждое множество элементов А={Ак}, к=1,…,N описывается в терминах случайного векторного параметра  с плотностью распределения ϼ k (), к=1,…,N.

Процедура извлечения информации о принадлежности представленного элемента к тому или иному множеству состоит в «трансформации» априорного распределения PN={pк, к=1,…,N}, в апостериорное

Q(x)={qk (), к=1,…,N},

где

 – выборочное значение случайного векторного параметра .

Очевидно, что процесс получения информации должен вести к уменьшению или полному снятию неопределенности о компетенциях выпускников девятых классов к тому или иному направлению подготовки.

Определим, что количество информации — это неопределенность, которую удается снять при трансформации априорного распределения PN, тогда обобщенную меру неопределенности k-го множества по априорным вероятностям следует представить в виде

H(pк) =φ (f (pк)/ pк), к=1,…,N,                                     (1.1)

а апостериорным вероятностям как

H(qk) =φ (f (qk ())/ qk ()), к=1,…,N,                          (1.2)

следовательно, в качестве меры количества информации принимаем разность

Ik()= H(pк) - H(qk), к=1,…,N.                                     (1.3)

Из выражения (1.3) следует, что задача выбора той или иной меры количества информации сводится к задаче выбора меры неопределенности H(*), которая, в свою очередь, определяется выбором функции неопределенности f (*).

В этом случае, используя представления, предложенные в работе [3], можем рассмотреть задачу построения мер количества информации.

Пусть выполняется условие

φ(y)=ln y                                                                    (1.4)

Введем обозначение

                                        (1.5)

тогда

                                                            (1.6)

Рассмотрим квадратичную функцию неопределенности [2],

f(x) = ax² + bx + c, x ∈ (0;1),

которая определяет обобщенную меру количества информации

Ik()= φ (аpk + b + c/pk) - φ (аqk ()   + b + c/qk ())                      (1.7)

Мера Ik(), при  определенных  условиях,  налагаемых  на коэффициенты а, в, с переходит в меры количества информации Котельникова, Шеннона и Кульбака.

Рассмотрим утверждение о мерах количества информации более подробно.

Допустим, что в выражении (1.7) а=0, , с=0, где γ=max{р1,…,рN}, то при выполнении условия (1.4) выражение (1.7) приобретает вид:

        (1.8)

которое будем называть мерой количества информации Котельникова.

Если положить в выражении (1.7) а=0, в=0, с=1, то при выполнении условия (1.4) выражение (1.7) приобретает вид:

            (1.9)

и определяет меру количества информации Шеннона.

Если положить в выражении (1.7) а=0, в=–1, с=1, то при выполнении условия (1.4) выражение (1.7) приобретает вид:

        (1.10)

Это выражение условимся называть мерой количества информации Кульбака.

Экспоненциальная функция неопределенности  ,x ∈ (0;1) определяет обобщенную меру количества информации вида:

                                             (1.11)

Если положить α=1, β=-1, то при выполнении условия (3.4) выражение (1.11) приобретает вид:

                                                (1.12)

Выражение (1.12) условимся называть мерой количества информации Байеса.

Полученные обобщенные меры количества информации представляют собой семейство мер, любая из которых может быть использована для оценки информации и принятия решения о принадлежности представленного обучающегося к одному из заданных множеств.

2. Процедура принятия решения, разбиение выборочного пространства на множества информативности

Задачи принятия решения о принадлежности представленного обучающегося к одному из заданных множеств носят статистический характер. В основу решения таких задач заложен выбор той или иной процедуры принятия решений. Рассмотрим процедуру принятия решений с позиции получаемого количестве информации.

Введем последовательность чисел {h} и {} и таких, что  к=1,…,N. На основании данной последовательности чисел {} и {} рассмотрим следующие множества информативности векторного параметра ={ξ1,…,ξn}:

– принятие решения о принадлежности представленного обучающегося к одному из заданных множеств;

 – принятие решения об исключении принадлежности представленного обучающегося к одному из заданных множеств;

 – область неопределенности.

Иными словами, числа {h} и {} есть не что иное, как пороги принятия решения в последовательных (вальдовских) процедурах проверки статистических гипотез. [4] Суть заключается в следующем.

а) Если уровень информации, полученной при последовательных испытаниях представленного обучающегося, превышает число hверхнего порога принятия решения, то испытания прекращаются принятием решения о принадлежности, представленного обучающегося к множеству к=1,…,N.

б) Если уровень информации, полученной при последовательных испытаниях представленного обучающегося, меньше числа нижнего порога принятия решения, то принимается решения о том, что представленный обучающийся не принадлежит множеству к=1,…,N. Указанное множество исключается из рассмотрения (алфавита множеств) и испытания продолжаются.

в) Если уровень информации, полученной при последовательных испытаниях представленного обучающегося, меньше верхнего порога h, но больше нижнего порога , решение не принимается и испытания продолжаются до выполнения пунктов а) или б).

Анализ предложенной процедуры позволяет сделать вывод о важности выбора величин порогов принятия решения, а также выборе критериев оценки количества информации – Котельникова (1.8), Шеннона (1.9), Кульбака (1.10) или

Байеса (1.12). Кроме того, можно предположить существование минимально достаточное количество информации, которое необходимо для компенсации неопределенности о том или ином представленном обучающемся.

1. Федеральный закон "Об образовании в Российской Федерации" от 29.12.2012 N 273-ФЗ
2. Косенко Г.Г. «Критерии информативности при различении сигналов». М.: «Радио и связь», 1982.
3. Круглов А. В., Головина Н. В. Единый подход к мерам неопределенности в статистических задачах принятия решений // Научные высказывания. 2026. №9 (96).URL:https://nvjournal.ru/article/Edinyj_podhod_k_meram_neopredelennosti_v_statisticheskih_zadachah_prinjatija_reshenij
4. Вальд А. «Последовательный анализ»: Пер. с англ./Под ред. Б.А. Севастьянова – М.: Физматгиз, 1960.